Ułamki zwykłe

Ogólnie o ułamkach

Ułamek - wyrażenie postaci 4 5 gdzie a to licznik, b mianownik, oddzielone od siebie kreską ułamkową.

Jak odróżnić licznik od mianownika? Licznik występuje zawsze na górze - jest "pierwszy" od góry. Litera "L" jest wcześniej od "M" w alfabecie - tak samo jak licznik nad mianownikiem. Należy pamiętać, że kreska ułamkowa jest symbolem dzielenia, a więc wartość pod kreską musi być różna od zera. Ułamki ujemne, czyli mniejsze od zera zapisywane są z minusem przed całym ułamkiem.

Ułamki niewłaściwe

Ułamki niewłaściwe to ułamki, w których licznik (czyli liczba nad kreską ułamkową) jest większa lub równa mianownikowi:

W przypadku ułamków niewłaściwych możemy wyłączyć część całkowitą z mianownika, czyli inaczej podać, ile części całkowitych jest w ułamku. Taki zapis nazywamy liczbą mieszaną.

Liczbę mieszaną z ułamka niewłaściwego otrzymujemy poprzez odejmowanie od licznika mianownika. Liczba takich operacji oznacza część całkowitą ułamka. W ostatnim kroku licznik jest mnieszy od mianownika. W ten sposób otrzymujemy część ułamkową. Inna metoda polega na podzieleniu licznika przez mianownik. Wynik dzielenia to liczba całkowita, natomiast reszta oznacza część ułamkową:

Oczywiście każdą liczbę mieszaną można również przedstawić w postaci ułamka niewłaściwego. W tym celu wystarczy przemnożyć liczbę całkowitą przez mianownik, a następnie do otrzymanej wartości dodać licznik. Wartość ta wpisywana zostaje w miejsce licznika, natomiast mianownik zostaje bez zmian.

W celu zamiany liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy wykonujemy dwa kroki. W pierwszym kroku liczba całkowita mnożona jest przez wartość w mianowniku. Do otrzymanego wyniku dodawana jest wartość z licznika. Otrzymany wynik to licznik w ułamku niewłaściwym, natomiast mianownik pozostaje bez zmian. Liczba 1 może zostać przedstawiona jako ułamek o dowolnym mianowniku. W takiej sytuacji licznik równy jest mianownikowi:

Każda liczba całkowita może zostać przedstawiona w postaci ułamka niewłaściwego. W tym celu wybieramy dowolną liczbę, która będzie naszym mianownikiem. Następnie liczbę całkowitą mnożymy przez wybraną dowolną liczbę. Otrzymana wartość będzie licznikiem:

Skracanie ułamków zwykłych

Skracanie ułamków możliwe jest, kiedy licznik i mianownik danego ułamka może zostać podzielony bez reszty przez liczbę całkowitą. Najczęściej stosowane jest skracanie ułamków przez 2. W tej sytuacji licznik i mianownik ułamka musi bez reszty dzielić się przez 2:

UWAGA: W przypadku, kiedy tylko licznik, lub tylko mianownik może zostać podzielony bez reszty - skracanie nie jest możliwe. Skracanie możliwe jest również w przypadku ułamków niewłaściwych (kiedy licznik jest większy od mianownika). Oczywiście konieczne jest, aby licznik i mianownik dzieliły się bez reszty przez tę samą liczbę. Szczególnym przypadkiem skracania ułamka niewłaściwego jest sytuacja, kiedy to licznik jest równy mianownikowi. Wtedy w wyniku skracania zawsze uzyskujemy liczbę 1. Inny szczególny przypadek to sytuacja, kiedy licznik stanowi wielokrotność mianownika. Wtedy w wyniku skracania otrzymujemy liczbę całkowitą:

Rozszerzanie ułamków

Każdy ułamek może zostać rozszerzony poprzez pomnożenie jego licznika oraz mianownika przez tę samą liczbę całkowitą większą od 1. (pomnożenie ułamka zwykłego przez jeden daje w wyniku ten sam ułamek). Operacja rozszerzania ułamków jest odwrotnością skracania:

Innym zagadnieniem jest rozszerzanie ułamków do zadanego mianownika. W takim wypadku należy sprawdzić, ile razy nowy mianownik jest większy od aktualnego mianownika. Następnie licznik i mianownik należy przemnożyć przez tę wartość:

Przykłady:

Zamiana Ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną

1. 5 2 = 2 1 2 , ponieważ (2 ⋅ 2+1) 2 = 5 2
2. 11 3 = 3 2 3 , ponieważ (3 ⋅ 3+2) 3 = 11 3
3. - 15 4 = -3 3 4 , ponieważ - (3 ⋅ 4+3) 4 = - 15 4
4. 11 1 = 11, ponieważ (11 ⋅ 1) 1 = 11 1
5. 61 7 = 8 5 7 , ponieważ (8 ⋅ 7 + 5) 7 = 61 7

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy

1. 3 1 4 = (3 ⋅ 4+1) 4 = 13 4
2. 5 1 2 = (5 ⋅ 2+1) 2 = 11 2
3. -6 1 6 = - (6 ⋅ 6+1) 6 = - 37 6
4. 5 5 3 = (5⋅ 3+5) 3 = 20 3 , lub 5 5 3 = 6 2 3 = (6 ⋅ 3 + 2) 3 = 20 3
5. -6 11 12 = - (6 ⋅ 12 + 11) 12 = - 83 12

Skracanie ułamków zwykłych

1. 4 6 = 4:2 6:2 = 2 3
2. 15 25 = 15:5 25:5 = 3 5
3. - 14 7 = - 14:7 7:7 = - 2 1 = -2
4. 22 99 = 22:11 99:11 = 2 9
5. 105 126 = 105:7 126:7 = 15 18 = 15:3 18:3 = 5 6